This website, inspired by Juliette Bruce’s SyzygyData , is a tool for visualizing syzygies of strictly ample embeddings into weighted projective spaces. For now, everything is based on the paper Weighted Syzygies of Pointed Curves
How does the complexity of syzygies of weighted embeddings by $|\mathcal{O}(dP)|$ change as $d$ grows?
See here for an explainer of this website, please get in touch with us if you’d like to use the Macaulay2 package used for these computations.
Weierstrass semigroups and embeddings of pointed curves
The number of genus $g$ Weierstrass semigroups per genus are bounded. Click on each genus to view the syzygy bounds.
Example: a genus-4 complete intersection of a quadric and a cubic in $\PP^3$
This site collects Betti tables for section rings of pointed curves, organized by their Weierstrass semigroups. The tables describe the minimal free resolutions of weighted projective embeddings of the form $C \hookrightarrow \PP(w_0,\ldots,w_r)$.
The current example is a genus $4$ complete intersection with semigroup $H(P)=\langle 5,6,7,8,9 \rangle$. The generator records above each table are the weighted degrees and pole orders of the sections.
d = 1 w = (1 , 5 , 6, 7, 8, 9) ord = (0, 5, 6, 7, 8, 9)
0 1 2 3 4
total
1 10 20 15 4
0
1
· empty · empty · empty · empty
1
· empty · empty · empty · empty · empty
2
· empty · empty · empty · empty · empty
3
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4
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5
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6
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7
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8
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9
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10
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11
· empty 1
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12
· empty 1
· empty · empty · empty
13
· empty 2
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14
· empty 2
· empty · empty · empty
15
· empty 2
· empty · empty · empty
16
· empty 1
· empty · empty · empty
17
· empty 1
1
· empty · empty
18
· empty · empty 2
· empty · empty
19
· empty · empty 3
· empty · empty
20
· empty · empty 4
· empty · empty
21
· empty · empty 4
· empty · empty
22
· empty · empty 3
· empty · empty
23
· empty · empty 2
· empty · empty
24
· empty · empty 1
1
· empty
25
· empty · empty · empty 2
· empty
26
· empty · empty · empty 3
· empty
27
· empty · empty · empty 3
· empty
28
· empty · empty · empty 3
· empty
29
· empty · empty · empty 2
· empty
30
· empty · empty · empty 1
· empty
31
· empty · empty · empty · empty · empty
32
· empty · empty · empty · empty 1
33
· empty · empty · empty · empty 1
34
· empty · empty · empty · empty 1
35
· empty · empty · empty · empty 1
36
· empty · empty · empty · empty · empty
d = 2 w = (1 , 3, 3 , 4, 4, 5, 5) ord = (0, 5, 6, 7, 8, 9, 10)
0 1 2 3 4 5
total
1 15 40 45 24 5
0
1
· empty · empty · empty · empty · empty
1
· empty · empty · empty · empty · empty · empty
2
· empty · empty · empty · empty · empty · empty
3
· empty · empty · empty · empty · empty · empty
4
· empty · empty · empty · empty · empty · empty
5
· empty 1
· empty · empty · empty · empty
6
· empty 2
· empty · empty · empty · empty
7
· empty 5
· empty · empty · empty · empty
8
· empty 4
2
· empty · empty · empty
9
· empty 3
6
· empty · empty · empty
10
· empty · empty 10
· empty · empty · empty
11
· empty · empty 12
1
· empty · empty
12
· empty · empty 8
6
· empty · empty
13
· empty · empty 2
11
· empty · empty
14
· empty · empty · empty 14
· empty · empty
15
· empty · empty · empty 9
2
· empty
16
· empty · empty · empty 4
6
· empty
17
· empty · empty · empty · empty 8
· empty
18
· empty · empty · empty · empty 6
· empty
19
· empty · empty · empty · empty 2
1
20
· empty · empty · empty · empty · empty 2
21
· empty · empty · empty · empty · empty 2
22
· empty · empty · empty · empty · empty · empty
d = 3 w = (1 , 2, 2 , 3, 3, 3) ord = (0, 5, 6, 7, 8, 9)
0 1 2 3 4
total
1 10 20 15 4
0
1
· empty · empty · empty · empty
1
· empty · empty · empty · empty · empty
2
· empty · empty · empty · empty · empty
3
· empty . empty · empty · empty · empty
4
· empty 3
· empty · empty · empty
5
· empty 7
. empty · empty · empty
6
· empty . empty 9
· empty · empty
7
· empty · empty 11
. empty · empty
8
· empty · empty . empty 9
· empty
9
· empty · empty · empty 6
. empty
10
· empty · empty · empty . empty 3
11
· empty · empty · empty · empty 1
12
· empty · empty · empty · empty · empty
d = 4 w = (1 , 2, 2, 2, 2 , 3, 3, 3, 3) ord = (0, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12)
0 1 2 3 4 5 6 7
total
1 28 112 210 224 140 48 7
0
1
· empty · empty · empty · empty · empty · empty · empty
1
· empty · empty · empty · empty · empty · empty · empty · empty
2
· empty · empty · empty · empty · empty · empty · empty · empty
3
· empty 6
· empty · empty · empty · empty · empty · empty
4
· empty 12
8
· empty · empty · empty · empty · empty
5
· empty 10
36
3
· empty · empty · empty · empty
6
· empty · empty 48
36
· empty · empty · empty · empty
7
· empty · empty 20
84
12
· empty · empty · empty
8
· empty · empty · empty 72
64
· empty · empty · empty
9
· empty · empty · empty 15
96
18
· empty · empty
10
· empty · empty · empty · empty 48
56
· empty · empty
11
· empty · empty · empty · empty 4
54
12
· empty
12
· empty · empty · empty · empty · empty 12
24
· empty
13
· empty · empty · empty · empty · empty · empty 12
3
14
· empty · empty · empty · empty · empty · empty · empty 4
15
· empty · empty · empty · empty · empty · empty · empty · empty
d = 5 w = (1 , 1 , 2, 2, 2, 2) ord = (0, 5, 6, 7, 8, 9)
0 1 2 3 4
total
1 10 20 15 4
0
1
· empty · empty · empty · empty
1
· empty · empty · empty · empty · empty
2
· empty · empty · empty · empty · empty
3
· empty 10
· empty · empty · empty
4
· empty · empty 20
· empty · empty
5
· empty · empty · empty 15
· empty
6
· empty · empty · empty · empty 4
7
· empty · empty · empty · empty · empty
d = 6 w = (1 , 1, 1 , 2, 2, 2) ord = (0, 5, 6, 7, 8, 9)
0 1 2 3 4
total
1 10 20 15 4
0
1
· empty · empty · empty · empty
1
· empty . empty · empty · empty · empty
2
· empty 4
. empty · empty · empty
3
· empty 6
12
. empty · empty
4
· empty · empty 8
12
. empty
5
· empty · empty · empty 3
4
6
· empty · empty · empty · empty · empty
d = 7 w = (1 , 1, 1, 1 , 2) ord = (0, 5, 6, 7, 8)
0 1 2 3
total
1 7 10 4
0
1
· empty · empty · empty
1
· empty . empty . empty · empty
2
· empty 6
4
. empty
3
· empty 1
6
4
4
· empty · empty · empty · empty
d = 8 w = (1 , 1, 1, 1, 1 ) ord = (0, 5, 6, 7, 8)
0 1 2 3
total
1 6 9 4
0
1
· empty · empty · empty
1
· empty 2
. empty . empty
2
· empty 4
9
4
3
· empty · empty · empty · empty
d = 9 w = (1 , 1, 1, 1, 1, 1 ) ord = (0, 5, 6, 7, 8, 9)
0 1 2 3 4
total
1 6 13 12 4
0
1
· empty · empty · empty · empty
1
· empty 6
4
. empty . empty
2
· empty . empty 9
12
4
3
· empty · empty · empty · empty · empty
TODO
Visualize Kunz cone?
Display weighted $N_p$ conditions as a different colored shade?
